아서 벤자민-피보나치 수의 마법

우리가 수학을 배우는 세 가지 이유는 계산, 응용, 영감 때문이다. 오늘날은 계산이 가장 큰 부분을 차지하고 있고 영감은 매우 적다.

수학은 규칙의 학문으로 논리적이고 정확하며 창의적으로 생각하는 힘을 키워준다. 하지만 우리가 학교에서 배우는 수학은 동기부여 낮아 ‘왜 수학을 배워야 하는지...’ 잘 모른다. 수학에 흥미를 느낄 수 있게 유명한 피보나치수열로 예를 들어보겠다. 이 수열은 자연에서 많이 사용되고 있는데 대표적으로 꽃잎의 수, , 앵무조개, 파인애플의 나선 수 등이 있다.

1 1 2 3 5 8 13 21 35 55

1 1 4 9 25 64 169 441 3025

1+1+4=6=2*3, 1+1+4+9=15=3*5, 1+1+4+9+25=40=5*8...

피보나치 수를 각각 제곱할 수들을 살펴보면 이곳에도 피보나치 수열이 숨어있다. 직사각형의 넓이를 이용해서 쉽게 증명할수 있다. 여기서도 놀라운 규칙을 발견할수 있는데 직사각형의 가로와 세로 길이를 나누어보면 13/8=1.625 21/13=1.615 34/21=1.619 55/34=1.6176 89/55=1.61818로 황금비가 나온다. 이 외에도 많은 수열들이 아름다운 규칙을 가지고 있는데 학교에서는 이런 측면을 다루고 있지 않다. 계산의 중요성만 배우고 계산만 많이 한다. 하지만 우리는 응용을 잊지 말아야 한다. 수학은 단지 미지수 x를 구하는 학문이 아니기 때문에 수학에서 가장 중요한 적용의 요소인 생각하는 방법을 잊지 말아야 한다고 얘기했다.

피보나치수열은 수학콘서트, 수학귀신 등 수학 관련 도서에서 빠짐없이 등장하는 수열이다. 그러다보니 평소에 수학에 관심이 많았던 나는 이 수열에 대해 많이 찾아보아서 잘 알고 있었다. 하지만 아서가 말한 피보나치수열에서 새롭게 발견되는 수열들은 처음 보았다. 또 이 수열을 증명하는 방법도 처음 알게 되었는데 매우 신기했다. 규칙 찾는 것을 좋아해서 ‘다음에 올 수는?’ 맞추는 걸 굉장히 좋아하는데 아서처럼 이미 정해진 규칙이라고 그냥 넘기지 말고 이 수열에서 새로운 규칙을 찾을수 없을까? 고민하는 사람이 되어야 겠다. 학교에서 수열과 급수에 대해 배울 때 이러한 것들을 알려준다면 학생들도 수학에 더 흥미를 가지고 지루해 하지 않을텐데...

+)소주제 18번 수열과 급수 내용 참고!!

물 공급: 댐의 걸설로 만들어진 저수지, 댐에 많은 양의 물을 가둔다.

승압: 발전소의 송전 쪽에서 변압기가 전압을 높여 장거리 송전 때 에너지의 손실을 줄인다.

발전기의 전압 상태로 에너지 전송: 발전기로 생산된 전기는 발전소의 송전 쪽에 있는 변압기로 전송된다.

송전망에 전력을 통합: 생산된 전기는 송전망에 통합된다.

고압 전기 송전: 전기를 장거리에 보낼 때 고압선을 이용하면 전류의 세기는 줄어들고 에너지 손실도 감소한다.

감압: 전기를 배전망에 통합하기 전에 전압은 240v까지 꾸준히 감압된다.

소비자에게 송전: 전기는 저압 배전선에 의해 소비 지역으로 운반된다.

발전기에 의한 전기 생산: 발전기 고정자 속에 있는 회전자의 운동을 통해 전기를 생산한다.

회전 운동을 회전자에 전달: 터빈의 움직임이 축에 의해 회전자에 전달된다.

배수: 터빈을 통과한 물은 다시 수로에 합류한다.

터빈의 회전: 흐르는 물이 터빈의 날개바퀴에 압력을 가해 터빈을 돌린다.

기계 에너지가 전기로 변환: 발전기가 물의 힘을 전기로 바꾼다.

가압수: 물은 수압관을 내려가면서 힘을 얻어 힘차게 터빈 쪽으로 향한다.

수두: 댐은 물의 수위를 높여 수압관을 따라 수직으로 떨어지게 만든다.

[네이버 지식백과] 전기 생산 단계 [steps in production of electricity] (브리태니커 비주얼사전 > 에너지, 2012., 브리태니커 비주얼사전)

1. 전기에너지의 생산

① 기전력을 발생시킴으로써 얻는다

.② 기전력을 발생시키는 장치

㉮ 발전기 : 역학 에너지 → 전기 에너지

㉯ 건전지 : 화학 에너지 → 전기 에너지

㉰ 태양전지 : 빛 에너지 → 전기 에너지

③ 발전기 : 역학적 에너지를 전기에너지로 변환하는 기기.(전자기 유도)

④ 여러 가지 발전㉮ 원리 : 수력이나 화력, 원자력 등의 에너지원을 이용하여 터빈을 돌리고 그로부터 발전기를 돌려 전기 에너지를 얻는다.

㉯ 종류 : 에너지의 근본에 따라 구분.

(1) 화력 발전(가) 화석 연료(선유, 석탄, 가스 등)를 연소 시킬 때 나오는 열에너지로 물을 끓이고 이때 나오는 증기로 발전기를 회전시켜 전기 에너지를 얻는다.

(나) 특징

ⓐ 장점 : 연로를 구하기 쉽고 부지의 선택이 쉬우며 전기 소지비에 비교적 가까이 지을 수 있다.

ⓑ 단점  : 화석 연료에는 한계가 있으며 오염이 발생한다.

(2) 수력발전(가) 높은 곳의 물이 아래로 떨어지면서 발전기를 회전시켜 에너지를 얻는다.

(나) 특징

ⓐ 장점 : 댐을 이용하여 가뭄과 홍수에 대비할 수 있고 공해가 적고 한번 지으면 계속적으로 에너지를 얻을 수 있다.

ⓑ 단점 : 발전소를 지을 수 있는 부지가 한정적이고 건설비용이 많이 들며 주변 환경에 미치는 영향이 크다

.(3) 원자력 발전

(가) 원자로 내에서 우라늄과 플루토늄이 핵반응을 할 때 생기는 열을 이용하여 발전기를 돌려 전기에너지를 얻음

컴퓨터 언어는 컴퓨터가 어떤 문제를 해결하는 데 그 일의 처리방법과 순서를 지시해 주는 언어이다. 첫째는 기계어(machine language), 둘째는 어셈블리언어(assembly language), 셋째는 콤파일러 언어(compiler language) 3가지로 나눠진다.

기계어는 이진법 숫자로 구성된 것으로 번역의 과정을 거치지 않고 계산기가 직접 알아들을 수 있는 언어이다. 또 어셈블리어는 기계어를 기억하기 쉬운 기호어(symbolic language)로 표시한 것을 말하며, 이 언어는 일단 번역(assembling)을 거쳐 기계어로 전환된 뒤 사용된다.

그러나 세번째 콤파일러 언어는 다소 차이는 있으나 어느 기종의 전자계산기에나 공통으로 사용된다. 이것은 일반 사무자료 처리에 적합한 COBOL(Common Business Oriented Language)과 과학기술계산에 보다 편리한 FORTRAN(Formular Translated Language)이 있으며, 이외에도 ALGOL) (Algorithmic Language)·PL/l 등 여러 가지 종류의 언어가 있다. 역시 이 언어도 번역의 과정(이것을 compiling이라 함)을 거쳐서 기계어로 전환되어 사용된다.

또 새롭게 고급(high level) 언어와 저급(low level)언어 이렇게 두 가지로 나뉠 수 있다. 고급 언어는 저급 언어보다 사용하기 쉽고, 더 추상적이며, 더 이식 가능성이 높게 디자인된다. 어떤 언어의 경우에는, 문법적으로 올바른 프로그램들은 저급 언어로 컴파일(compile)되어 컴퓨터 상에서 실행(execute)되게 된다. 그래서 오늘날 대부분의 소프트웨어는 고급 언어로 작성된다.

또 다른 방법으로는 사람이 읽을 수 있는(human-readable) 언어와 사람이 읽을 수 없는 언어로 분류할 수 있다. 사람이 읽을 수 있는 언어는 사람이 직접 사용하여 컴퓨터와 커뮤니케이트하게 해주는 용도로 쓰일 수 있다. 사람이 읽을 수 없는 언어는 더 간결하며, 처리가 쉽게 디자인 되었으나, 이러한 특징을 만족하기 위해 가독성은 희생하여 디자인되었다.

http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=512372&cid=42126&categoryId=42126

하드웨어는 중앙처리장치, 주기억장치와 보조기억장치 같은 기억장치, 입력장치, 출력장치로 나뉜다. 이들 장치간의 데이터와 제어 신호의 흐름은 [그림 1-3]과 같으며, 중앙처리장치의 제어 신호에 따라 다른 장치들이 동작을 하게 된다.

http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=2270317&cid=51173&categoryId=51173

-컴퓨터언어: 소프트웨어와 하드웨어의 구동관계-

          “소프트웨어란 무엇인가 ”라는 글에서 우리는 소프트웨어가 무엇인지를 알아보았다 . 이번 글에서는 소프트웨어를 응용 소프트웨어와 시스템 소프트웨어로 구분하여 그들의 구동원리를 좀더 자세히 알아보고자 한다 . 응용 소프트웨어 와 시스템 소프트웨어 , 그리고 하드웨어 가 각각 어떠한 위치에서 필요하고 어떤 상호 관계 속에서 구동이 되는지를 이해할 필요가 있다 .

          자세한 내용을 다루기 앞서서 , “소프트웨어란 무엇인가 ”의 내용을 간단히 정리해보도록 하겠다 . 우선 하드웨어는 기본적으로 CPU(Central Processing Unit)와 메모리로 구성되어있다 . 이때 메모리와 CPU 간의 데이터 입출력을 제어한다거나 컴퓨터가 처리해야 하는 업무의 순서를 정하는 등 , 컴퓨터가 업무수행을 효율적으로 할 수 있게끔 도와주는 것이 바로 “윈도우 ”와 같은 시스템 소프트웨어인 것이다 . 그리고 이러한 시스템 소프트웨어의 플랫폼 위에서 사용자의 목적에 맞게 개발되고 사용되는 “포토샵 ” 등과 같은 프로그램들이 응용 소프트웨어다 .

<컴퓨터언어 : 이들은 무엇으로 소통하는가>

          우리에게 우리만의 언어가 존재하듯 , 컴퓨터들에게도 그들만의 언어가 존재한다 . 컴퓨터가 0 과 1 이라는 2 개의 숫자로만 모든 소통과 업무를 수행한다는 것은 누구나 들어보았을 것인데 , 그렇다면 과연 0 과 1 로만 구성되는 컴퓨터적인 소통이 어떻게 이루어지는가와 인간의 입장에서 그러한 언어를 어떻게 해석하고 응용하는가에 대해서 살펴볼 필요가 있다 .

          우리는 0 과 1 로만 이루어진 이 언어를 기계어 라고 부르고 , 위 그림에 보이는 숫자들의 배열은 컴퓨터에서 실제로 사용되는 기계어 코드다 . 하지만 사람이 이 코드를 읽으면서 그 의미를 즉각적으로 파악하기가 어렵기에 , 이러한 기계어 코드는 컴퓨터의 개발자 및 이용자 모두의 입장에서 가독성이 떨어진다고 할 수 있다 . 이때 인간의 입장에서 이러한 기계어를 알아볼 수 있게끔 , 원시적이자 1 차적인 차원에서 만들어진 언어가 어셈블리 언어 다 . 하나의 어셈블리 코드는 하나의 기계어 코드를 대표하고 있다는 것이 큰 특징이다 .

  하지만 , 어셈블리 언어는 하드웨어가 수행하는 업무 하나하나를 개별적으로 표현하기 때문에 , 복잡한 업무를 수행하는 프로그램을 만들 경우 천문학적인 수의 코드를 작성해야 한다는 한계가 있다 . 이러한 점을 극복하고자 High-level Language(고급언어)가 개발 되었는데 , 대표적으로는 C, C++, Java, Visual Basic, C# 등이 있으며 이 언어들은 우리가 쓰는 자연언어와 유사하다는 점이 가장 큰 장점이다 . 이러한 장점 덕분에 , 고급언어는 프로그램 개발에 처음 임하는 사람도 쉽게 이해하고 개발할 수 있다 .

          이러한 고급언어의 발전이 이루어진 현대의 응용 소프트웨어들은 대부분 고급 컴퓨터 언어로 이루어져있다 . 그러나 기계어를 제외한 모든 언어들은 사용자의 편의를 위해 개발된 것이기 때문에 , 정작 컴퓨터의 하드웨어는 기계어를 제외한 언어들을 해석할 수가 없다 . 이때 컴퓨터의 기본적인 구동을 위해 기능하는 시스템 소프트웨어의 역할이 드러난다 . 시스템 소프트웨어는 응용 프로그램에서 사용되는 어셈블리어와 고급언어를 하드웨어가 해석할 수 있도록 번역해주는 기능을 가지고 있고, 이 기능을 수행하는 소프트웨어의 이름은 컴파일러와 어셈블러다 . 컴파일러는 고급 컴퓨터 언어를 , 어셈블러는 어셈블리어를 기계어로 변환해주는 역할을 한다.

알란 스미스(Alan Smith): 우리가 통계학을 사랑해야 하는 이유

OECD는 젊은이들의 계산능력조사를 발표했다. 미국의 경우 40%가 낮은 계산 능력을 가지고 있었다. 영국도 마찬가지고 7개의 국가가 20%를 넘겼었다. 네덜란드와 한국은 한 자리수였는데 왠지 모르게 뿌듯해졌다. 통계학은 수학자들도 정확하지 않기 때문에 별로 좋아하지 않는다고 했다. 통계학의 어원을 살펴보면 우리가 사는 세상의 형태를 집단에 대한 데이터를 내는 것이라고 나와있다. 재미난 설문조사를 했는데 영국 성인 1000명에게 영국인중 무슬림은 얼마일까요? 물었는데 24%라고 했다. 하지만 공식수치에 따르면 5%에 불과하다. 이는 우리가 느끼고 생각하는것과 통계에는 큰 차이가 있다는 것을 보여준다. 또 영국에서 “얼마나 많은 십대 여학생들이 임신을 할까요?” 에서 공식수치가 15라고 했을 때 여학생들의 분노는 어마어마했다. 왜냐하면 공식수치에서 한 개의 점은 200개의 점들이 합쳐진 것이기 때문이다. 이러한 설문조사를 온 세계로 확장해보았다. 사우디 아라비아 사람들에게 “몇 명이 비만일까?” 물었을 때 1/4가 조금 넘는다고 대답했는데 공식적인 수치로는 3/4이 비만이었다. 이를 통해 사람은 직관적인 통계에 약하다는 것을 알 수 있다. 개인의 경험, 대중매체 등 다양한 원인이 존재할 텐데 카네만은 “우리는 당연한 것을 보지 못할 수 있다”라고 주장했다. 통계는 불확실의 과학이라 하는데 알란은 통계는 우리에 대한 과학이라고 주장했다.

이 강연의 주제는 기술이 사랑의 본질적인 의미를 변화시킬수 없다는 것이다. 헬렌은 뇌를 연구하면서 백명이 넘는 사람들의 뇌를 스캔했다. 그 과정에서 발견된 것은 짝짓기와 번식을 위해 인간의 뇌는 성욕, 강렬하고 로맨틱한 사랑 혹은 오랜 연인에게 애착을 느낄 때 작용하는 뇌의 체계가 제각각이라는 것이다. 이 부분은 피질 밑에 있다. 감정을 관장하는 변연계보다 훨씬 더 아래쪽에 자리 잡혀있고 뇌의 기본이 되는 영역이다. 기술이 발전하면서 사람의 구애방식에는 많은 변화가 생긴 건 사실이다. 이메일, 메신저를 통해 대화하고, 사진에 ‘좋아요’를 누르고 주선앱 등을 통해 사람을 만나고... 하지만 이런 만남 주선앱을 이리저리 뒤진다고 사랑의 근본적인 의미가 변하지는 않는다. 나에게 주어진 선택의 폭이 넓어졌을 뿐 이런 앱을 통해 내가 사랑하는 상대가 바뀔일은 없다. 만남을 주선할 뿐이지 사랑을 하게 만들어줄수는 없다. 진짜 알고리즘은 인간의 뇌이기 때문이다.

내가 좋아하는 웹툰중에 “좋아하면 울리는 종알람”이란 웹툰이 있다. 이 앱만 깔려있으면 근방 10m안에 나를 좋아하는 사람의 숫자가 표시된다. 그렇기 때문에 사람들은 좋아한다는 표현을 잘 하지 않게 되고 사귀는 사이에서 이 앱을 열어 상대방이 나를 좋아하는지 확인을 한다. 서로에 대한 불신이 커져가고 상대방의 마음보다는 이 앱만 신뢰하는 사람들이 많아진다. 웹툰 내에서도 처음에는 나를 좋아하는 사람을 알려주기 때문에 너무 편하고 좋은 앱이라 생각들지만 이 앱을 통해 많은 문제가 발생한다. 이 웹툰을 보며 항상 저 앱이 조금의 실수도 하지 않을까? 항상 완벽한가? 라는 생각이 들었다. 전세계의 인구의 정보, 감정을 분석하면서 과부하로 인한 오류가 생길 것 같았다. 또한 기술은 사람의 뇌파나 호르몬을 분석하는 것 같은데 호르몬 분비가 잘 되지 않는 사람은? 정말 사람의 마음이 과학적으로 분석이 될수 있을까? 라는 생각이 들었다. 물론 판타지긴 하지만 현재 이와 비슷한 앱 들이 많이 만들어지고 있다. 많은 사람들이 이런 앱을 사용한다면 고백하기, 자연스러운 만남등이 사라지고 한낱 기계에게 우리의 마음을 맡긴다는 것이 얼마나 무서운 일인지 생각해볼 필요가 있다.