미분기하학(微分幾何學, differential geometry)은 기하학의 문제를 다루기 위해 미적분학, 선형대수학 그리고 다중선형대수학을 이용한 수학의 한 분야이다. 3차원 유클리드 공간에서의 평면, 곡면 그리고 곡선에 대한 이론들이 18세기와 19세기 동안 미분기하학의 발전의 기초가 되었다. 19세기 후반부터, 미분기하학은 매끄러운 다양체의 기하적 구조를 조금 더 일반적으로 다루는 한 분야로 성장했다. 미분기하학은 미분위상기하학과 긴밀히 연결되어 있고 기하학의 관점으로 볼때 미분방정식과도 관련이 있다. 리치 흐름(Ricci flow)를 이용한 푸앵카레 추측에 대한 그리고리 페렐만의 증명은 위상기하학의 문제의 접근에서 미분기하학적 툴의 강력함을 보여주었으며 해석적 방법이 중요하다는 것을 다시한번 보여주었다. 특히, 곡면에 대한 미분기하학은 미분기하학의 특성에 대해 많은 이해와 기법의 단초를 제공한다.
이 분야를 공부하기 위해서는 다변수 1,2차 함수의 이론, 벡터해석학에서의 그린의 정리를 알아야 한다. 또한 가장 많이 쓰이는 것은 미적분학에서 배웠던 셈들이다. 숫자가 아닌 문자를 가지고 한다.
(미적기하 공부하기- 김영옥(고려대학교)
*가우스-보네 정리(Gauss-Bonnet theorem, -定理) 또는 가우스-보네 공식(Gauss-Bonnet formula, -公式)은 미분기하학의 정리로, 어떤 곡면의 가우스 곡률과 오일러 지표를 연결한다. 가우스 곡률은 곡면의 핵심적인 기하학적 정보이며, 오일러 지표는 곡면의 핵심적인 위상수학적 정보이기 때문에, 이 둘의 연관성은 수학에서 중요하게 여겨진다. 독일 수학자 카를 프리드리히 가우스는 이 정리의 내용을 알고 있었으나 출판하지는 않았으며, 프랑스 수학자 피에르 오시앙 보네(Pierre Ossian Bonnet)가 특수한 경우에 대한 논문을 1848년 출판하여 이 두 사람의 이름이 붙어 있다.
미분기하학이란 말을 처음 들었을때는 ‘미분+기하학을 합친 학문일까’라는 생각이 들었다. 미분학에서 배운 여러 그래프들을 더 구체적으로 기하학적으로 자세히 배우는 것일까? 생각했는데 알아보니 비슷한 것 갈았다. 미분을 기하학적 성질로 접근해야 하기 때문에 가장 직관적으로 접근해야 하기 때문에 가장 어렵다고 하였다. 손으로 그림을 그려가며 숫자, 기호에 집착하는 것이 아닌 창의력 직관력을 많이 필요로 하는 것 같다.
