해석학개론은 수학의 한 분야로, 기본적인 정의는 함수를 연구하는 학문이다. 모든 함수를 다 연구하는 것은 아니고, 주로 실수와 복소수 위에서의 함수들과 연속성 등을 탐구하게 된다. 연속성을 탐구하는 다른 학문인 위상수학과의 차이는, 연속성을 '수량화'했다는 것이다.
해석학의 시작은 미적분학의 엄밀한 수학적 기초를 세우면서 출발했다. 미적분학이 태동할 17~18세기의 수학은 직관적인 이해로부터 출발하는 것이 당연했고, 정의는 모두 빠져 있었다. 수학이 발전하면서 이 빈틈에서 자연스레 모순이 생겨났고, 극한에 대한 엄밀한 정의가 요구되었다. 애매한 무한소 개념을 대체하는 코시(Cauchy)의 악명높은 엡실론-델타 정의를 시작으로[1] 이 노력이 근대까지 이어진 것이 초창기의 해석학이다.
현대의 해석학은 미적분학과는 연관성을 알아볼 수 없을 정도로 다양하게 발전하였다. 함수해석학, 조화해석학 등의 많은 세부분야가 생겼을 뿐만 아니라, 정수론이나 기하학을 포함한 수학의 전 분야에 영향을 끼치고 있다. 확률론과 미분방정식 등 많은 분야의 기초가 되는 만큼, 전공자가 아니더라도 수학을 조금이라도 사용하게 된다면 한번쯤 접하게 되는 분야이기도 하다.
"해석학은 오랫동안 논리학에 첨가되어 왔기 때문에, 철학자들은 해석학설을 발전시키는데 관심이 없었다. 그러나 말하는 기술과 이해하는 기술은 서로 관련되어 있으며, 말하는 것은 단지 사고의 외적 측면이다. 해석학은 사고기술의 일부이며 고로 철학적이다."
-프리드리히 슐라이머마허, <Hermeneutics>, The Handwritten Manuscripts, pp.6~7 中-
프리드리히 슐라이에르마허, 빓헬름 딜타이, 마르틴 하이데거, 한스 게오르크 가디머의 해석학등 여러종류의 해석학이 있다.
처음에 해석개론이란 말을 들었을 때 암호를 해석하는 건가? 라는 생각이 들었다. 하지만 해삭학에 대해 알아가면서 전혀 다른 것이라는 걸 알게 되었다. 또 내가 지금까지 고등학교에서 배운 수학은 진짜가 아니라는 생각이 들었다. 어떤 사람이 이런 말을 했다. "고등학교때 미적분학을 열심히 했더라도 극한의 새로운 정의 앞에서 눈물이 앞을 가리는 상황"이 그저 가소롭게 보이게 만드는 학문이다. 그럼 내가 고등학교때 배웠던 것은 뭘까? 미적분학의 작은 점일 것이다. 고작 이만큼만 알면서 과연 내가 미적분을 배웠다고 할 수 있을지 의문이 들었다. 미적분을 배우면서 왜 미분이 되는지 증명을 하지 않고 그냥 공식들을 외웠던 것 같은데... 미적분2를 공부하면서 문제풀기에 급급해 한번도 그런 생각을 한 적 없는 것 같다. 사잇값정리, 함수의 연속성, 로피탈의 정리등.,, 왜 이런 정리들이 나왔는지 생각 해봤어야 했는데. 대학교에 들어가 이런 정리들의 증명을 다루고 좀 더 깊은 수학을 배워보고 싶다. 내가 모르는 것이 얼마나 많을까? 새로 배울 생각을 하니 두근두근거렸다. 하루빨리 단순한 문제풀이에서 벗어나 수학의 본질에 대해 배워보고 싶다.
